- 一个三角不等式命题在三角形ABC中,求证:sin(A/2)+si
- 命题 在三角形AB中,求证:
sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≥2[sin(B/2)*sin(C/2)+sin(C/2)*sin(A/2)+sin(A/2)*sin(B/2)]
- 命题 在三角形ABC中,求证:
sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≥2[sin(B/2)*sin(C/2)+sin(C/2)*sin(A/2)+sin(A/2)*sin(B/2)]
证明 设x=sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)，根据已知恒等式:
[sin(A/2)]^2+[sin(B/2)]^2+[sin(C/2)]^2=(2R-r)/(2R)，
所证不等式等价于
x≥x^2-(2R-r)/(2R)
<==> x^2-x-(2R-r)/(2R)≤0 (1)
记n=[R+√(5R^2-2Rr)]/(2R),m=[R-√(5R^2-2Rr)]/(2R).
则上式分解为:
(x-n)*(x-m)≤0 (2)
已知不等式:
10。
故(2)式成立。证毕。