- ∫(1
- 可以看出：被积函数 (1-x^2)^（-3/2）的定义域为（-1，1），
这就好办了：用“换元法”。
因 x∈（-1，1），不妨设 x＝sinθ, θ∈（-π/2, π/2)，易知 cosθ＞0,
于是原积分变成
∫(1-x^2)^（-3/2）dx
＝∫[1-(sinθ)^2]^(-3/2)·d(sinθ)
＝∫(cosθ)^(-3)·cosθ·dθ
＝∫(cosθ)^(-2)·dθ
＝∫(secθ)^2·dθ
＝tanθ + C （C 为常数)
因 x＝sinθ，而 cosθ＞0，所以，cosθ＝[1-(sinθ)^2]^(1/2)＝(1-x^2)^（1/2）
于是 tanθ＝sinθ/cosθ＝x/[(1-x^2)^(1/2)]＝x·(1-x^2)^(-1/2),
故 原不定积分为 ∫(1-x^2)^（-3/2）dx ＝x·(1-x^2)^(-1/2) + C 。
解毕。（你可以验证一下）