- 抛物线大题314.在已知抛物线y=x^上存在不同的点M、N关于直
- .在已知抛物线y=x^上存在不同的点M、N关于直线L：y=-kx+ 9/2对称，求k的范围。
- 还是要我上手，过程较长，但是步骤详细，一看就明白了。
解：存在不同的点M、N关于直线L：y=-kx+ 9/2对称，
可以知道：MN和直线L垂直，且线段MN的中点在L上，
设M（x1，y1）， N（x2，y2）， 线段MN的中点H（xo，yo），
因为 M、N在已知抛物线 y=x^2上，
所以有： y1=(x1)^2, y2=（x2)^2，
相减得到：y2-y1=(x2-x1)(x2+x1)
所以：(y2-y1)/(x2-x1)=(x2+x1)，…………（1）
注意到左边的 (y2-y1)/(x2-x1) 就是直线MN的斜率，
直线L：y=-kx+ 9/2 的斜率是 -k，MN和直线L垂直，
所以，直线MN的斜率是 1/k，
所以（1）式就是：1/k=(x2+x1)，…………（2）
又根据中点坐标公式：xo=(x2+x1)/2，yo=(y2+y1)/2，
中点H在直线L上，所以有 yo=-kxo + 9/2
即：(y2+y1)/2 =-k(x2+x1)/2 + 9/2
就是：y2+y1=-k(x2+x1) + 9，将y1=(x1)^2, y2=（x2)^2，代入
得到：(x1)^2 +（x2)^2 =-k(x2+x1) + 9
化成：(x1+x2)^2 -2x1x2 =-k(x2+x1) + 9，将（2）式代入
得到：(1/k)^2 -2x1x2 = -k*(1/k) + 9
即 1/(k^2)-2x1x2 = 8
求得：x1x2=1/[2(k^2)] -4………………（3）
由（2）（3）两式可以说明，
x1，x2是一元二次方程 x^2 -(1/k)x +1/[2(k^2)] -4的两个根，
M，N两点要存在，这个方程应该有两个不相等的实数根，
即 判别式 ⊿=(1/k)^2 - 4[1/[2(k^2)] -4]＞0，
1/(k^2)-2/(k^2) + 16＞0
1/(k^2)＜16，
k^2 ＞1/16,
最后解得：k＞1/4，k＜-1/4
所以k的范围是（-∞，-1/4)∪(1/4，+∞) 。OK！