- 若一列不为0数其和是m,则它们的倒数和是几?
- 倒数和的准确值虽不确定,但如果这一列数的符号都相同的话其范围还是可以推知的。
引理:(柯西不等式的重要推论)
若a(i)与b(i) 同号,i=1,2,3,4,…,n。则
a(1)/b(1)+a(2)/b(2)+…+a(n)/b(n)>=[a(1)+a(2)+…+a(n)]^2/[a(1)b(1)+a(2)b(2)+…+a(n)b(n)],当且仅当b(1)=b(2)=…b(n)取等。
设这一列数为数列b(n),且各个数同号,其个数为n个,
b(1)+b(2)+…+b(n)=m
(1)若每个b(n)>0,则
1/b(1)+1/b(2)+…+1/b(n)>=[1+1+ …+1]^2/[b(1)+b(2)+…+b(n]
=n^2/m
(2)若每个b(n)<0,则
(-1)/b(1)+(-1)/b(2)+…+(-1)/b(n)>=[-1-1- …-1]^2/[-b(1)-b(2)-…-b(n]=n^2/(-m)
所以1/b(1)+1/b(2)+…+1/b(n)<=n^2/m
总上所述,如果此列数都为正数,则其倒数和大于等于其项数的平方与和的比值,若都为负数则小于等于其项数的平方与和的比值,并且当且仅当各项都相等时取等号。