- 设f(x)在[a,正无穷]上连续,在(a,正无穷)内可导,且f’?
- 设f(x)在[a,正无穷]上连续,在(a,正无穷)内可导,且f’(x)>=k>0
证明,当f(a)<0时,f(x)=0在(a,正无穷)内有且只有一个实根。
- 我的证明如下
唯一性:
因为f'(x)>=k>0,所以f(x)在[a,+∞)是严格单调增加的,也就是,对应一个y值只有唯一的x与之对应,也就是说,如果有x使f(x)=0,那么这样的x只有一个。
存在性:
f'(x)>=k>0,通过积分f(x)=kx+c,又因为f(a)已知所以c=f(a),即f(x)=kx+f(a),当x趋于正无穷时,f(x)趋于正无穷,即f(正无穷)>0,f(0)<0根据连续函数的介值定理,必有一x属于[a,+∞),使f(x)=0
综上所述,f(x)在[0,+∞)只有一个零点