- 几何问题在△ABC中,己知∠A=2∠B，∠C是钝角，三边长a,b
- 在△AB中,己知∠A=2∠B，∠C是钝角，三边长a,b,c都是整数的三角形，求周长的最小值。
- 在△AB中,己知∠A=2∠B，∠C是钝角，三边长a,b,c都是整数的三角形，求周长的最小值。
解 由∠A=2∠B,可得:
a^2=b(b+c) (1)
根据正弦定理得:
a/sinA=b/sinB=a/sin2B
故得：cosB=a/2b<1，即 a<2b (2)
因为∠C是钝角，由余弦定理得: a^2+b^2 a^2b(b+2b)=3b^2
即得:a>√3*b (3)
故有 2b>a>√3*b。
设b=m^2，b+c=n^2，m,n∈N，
所以a^2=m*n，即 2m^2>mn>√3*m^2，
即 2m>n>√3*m，所以2m，√3*m有自然数n。
从而 2m-√3*m>1，即
m>1/(2-√3)>2+√3>3，
故m>=4。
当n=4时，b=16，8>n>4√3，
所以n=7，a=28，c=33。
a+b+c=16+28+33=77.
因此满足上述的条件的三角形的周长的最小值为77。