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证明： 当x=0时，Φ(0)=0 因为Φ(x)在R上单调递减， 所以当x>0时，Φ(x)≤Φ(0)=0,当x<0时，Φ(x)≥Φ(0)=0 我们用反证法，假设存在实数c使得f(c)≠0 不失一般性我们假设c>0,f(c)>0,(其他情况同理可证) 由于f(x)在R上连续，则f(x)→f(c),(当x→c) 则据连续的局部保号性知，存在c>δ>0,使得当c-δf(c)/2>0 当x>2c+2δ>0时，将Φ(x)=f(x)∫(0→x)f(t)dt拆成 f(x)∫(0→c-δ)f(t)dt+f(x)∫(c-δ→c+δ)f(t)dt+f(x)∫(c+δ→x)f(t)dt 其中f(x)∫(0→c-δ)f(t)dt=0,f(x)∫(c+δ→x)f(t)dt=0 f(x)∫(c-δ→c+δ)f(t)dt>0,这里不等号严格取到 于是当x>2c+2δ>0时,便有Φ(x)=f(x)∫(0→x)f(t)dt>0 不等号严格成立 而据之前的讨论我们知道当x>0时，Φ(x)≤Φ(0)=0 两者相矛盾 则f(x)在R上恒等于0 证毕.