- 对于任意正整数n,证明:(tan15度)^n+(cot15度)^?
- 证明:
设An=(tan15度)^n+(cot15度)^n,
易知:
tan15+cot15=4
tan15cot15=1
可见,tan15、cot15是x^2-4x+1=0的两根.即:
(tan15)^2-4tan15+1=0 ......(1)
(cot15)^2-4cot15+1=0 ......(2)
由(1)×(tan15)^n+(2)×(cot15)^n,得
A=4A-A
因A<1>=4,
A<2>=(tan15+cot15)^2-2=14
所以由数学归纳法易证A是偶数(这简单,留给楼主证明吧).