- 已知函数f(x)=(ax+b)除以（x的平方+1）是定义在（
- 已知f(x)=(ax+b)除以（x的平方+1）
是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1/2)
=2/5．
（1）求函数f（x）的解
析式（2）用函数单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜f(0)．
- 解：
(1)显然有f(0)=0, 即b=0
又f(1/2)=2/5, 即f(1/2)=2/5, ∴a=1
故f(x)=x/(x²+1)
(2)任取x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2, x2-x1＞0
则
`f(x1)-f(x2)
=x1/(x1²+1)-x2/(x2²+1)
=[x1(x2²+1)-x2(x1²+1)]/[(x1²+1)(x2²+1)]
=[x1x2(x2-x1)+(x1-x2)]/[(x1²+1)(x2²+1)]
=[(x2-x1)(x1x2+1)]/[(x1²+1)(x2²+1)]
∵x1x2∈(-1,1), x1x2+1＞0, x2-x1＞0, (x1²+1)(x2²+1)＞0
故f(x1)-f(x2)＞0
即f(x)单调递增.
(3)原不等式等价于
f(t-1)+f(t)＜0
即f(t-1)＜-f(t)
由奇性质f(-x)=-f(x), 得
f(t-1)＜f(-t)
由于f(x)单调递增, 所以只需解以下不等式组
{-1＜t-1＜1 ==> 0＜t＜2
{-1＜-t＜1 ==> -1＜t＜1
{t-1＜-t ==> t＜1/2
取交集, 得t∈(0,1/2).