- 高中数学高手进椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2倍根号2，相应于
- 椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2倍根号2，相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点
(1)求椭圆方程及离心率
(2)若op垂直oQ，求直线PQ的方程
- 椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2倍根号2，相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点
(1)求椭圆方程及离心率
椭圆焦点F(c,0)（c＞0）位于x轴上，，椭圆中心在原点
所以，设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
已知短轴长为2√2，即2b=2√2
所以，b=√2
则，椭圆为x^2/a^2+y^2/4=1（a＞1）
|0F|=c，|FA|=(a^2/c)-c
所以：c=2[(a^2/c)-c]
===> c=(2a^2/c)-2c
===> 3c=2a^2/c
===> 3c^2=2a^2
===> (c/a)^2=2/3
===> e^2=2/3
===> e=√6/3
又，c^2=a^2-b^2
===> (2/3)a^2=a^2-2
===> (1/3)a^2=2
===> a^2=6
所以，椭圆方程为：x^2/6+y^2/2=1
(2)若op垂直oQ，求直线PQ的方程
由(1)知，a^2=6,b^2=2
所以，c^2=a^2-b^2=4
所以，c=2
则，a^2/c=3
所以，点A(3,0)
设过点A的直线PQ方程为：y=k(x-3)
联立直线与椭圆方程有：x^2/6+y^2/2=1，y=k(x-3)
===> x^2+3[k(x-3)]^2-6=0
===> x^2+3k^2x^2-18k^2x+27k^2-6=0
===> (3k^2+1)x^2-18k^2x+(27k^2-6)=0
所以：x1+x2=18k^2/(3k^2+1)，x1x2=(27k^2-6)/(3k^2+1)
设点P(x1,y1),Q(x2,y2)
则，Kop=(y1-0)/(x1-0)=y1/x1
Koq=(y2-0)/(x2-0)=y2/x2
已知OP⊥OQ
所以，Kop*Koq=-1
===> (y1/x1)*(y2/x2)=-1
===> [k(x1-3)/x1]*[k(x2-3)/x2]=-1
===> k^2(x1-3)(x2-3)=-x1x2
===> k^2*[x1x2-3(x1+x2)+9]=-x1x2
===> k^2*[(27k^2-6)/(3k^2+1)-3*18k^2/(3k^2+1)+9]=-(27k^2-6)/(3k^2+1)
===> k^2*[(27k^2-6-54k^2+27k^2+9)/(3k^2+1)]=(-27k^2+6)/(3k^2+1)
===> 3k^2/(3k^2+1)=(-27k^2+6)/(3k^2+1)
===> 30k^2=6
===> k^2=1/5
===> k=±√5/5
所以，PQ所在直线方程为：y=(±√5/5)(x-3)