- 请问如何证明：1+4q+9q^2+16q^3+...=(q+2)?
- 不要用归纳法。我想知道如何从左式推出右式的。
用初等方法。这是证明另外一个命题用到的，但没有给出推导的过程。谢谢。
- 首先q必须小于1
令S=1+4q+9q^2+16q^3+... ————————（1）
qS = q+4q^2+9q^3+16q^4+... ——————（2）
（1）-（2）得
(1-q) S = 1+3q+5q^2+7q^3+9q^4+... ——————（3）
q (1-q) S = q+3q^2+5q^3+7q^4+9q^5+... ——————（4）
（3）-（4）得
(1-q)^2 S = 1+2q+2q^2+2q^3+2q^4+...
= 1+2q/(1-q)
=(q+1)/(1-q)
S = (q+1)/(1-q)^3
我没有推出1+4q+9q^2+16q^3+... = (q+2)/(1-q)^3，只推出
1+4q+9q^2+16q^3+... =(q+1)/(1-q)^3
检查了一遍，没有找到错