- a,b,c是正整数,且a^2+b^2=c^2.求证:a,b中至少?
- a,b,c是正整数,且a^2+b^2=c^2.
求证:a,b中至少有一个是3的倍数.
- 预备定理:
一个正整数的平方或者是3的倍数,或者被3除余1(证明略).
设a不是3的倍数.
b^2=c^2-a^2=(c+a)(c-a)
1.
如果c是3的倍数,那么c+a和c-a被3除,余数一个是1,另一个是2,
不妨设c+a=3p+1,c-a=3q+2,
那么b^2=(3p+1)(3q+2)=9pq+6p+3q+2
b^2被3除余2,这与预备定理矛盾,所以c不是3的倍数.
2.
如果c不是3的倍数,因为a也不是3的倍数,
那么c+a,c-a中必有一个是3的倍数,
所以b^2是3的倍数,推得b是3的倍数.
所以a,b中至少有一个是3的倍数.