- 一道空间解析几何题见图。
- 见图。
- 空间的区域向坐标面投影.
第一种方法:
向xoy的投影:
由于两曲面都可以表示成z是x,y的形式.
所以求出其交线的投影即可.
其交线方程:
z=√(2x),z=√(x^2+y^2).
投影方程(消z):
x^2+y^2=2x.
==>
(x-1)^2+y^2=1.
==>
投影区域:(x-1)^2+y^2≤1
==>
投影区域:x^2+y^2≤2x
同理向yoz的投影:
由于两曲面都可以表示成x是y,z函数的形式.
所以求出其交线的投影即可.
其交线方程:
x=z^2/2,x=√(z^2-y^2).
投影方程(消x):
√(z^2-y^2)=z^2/2.
==>
1=(z^2/2-1)^2+y^2
==>
投影区域:(z^2/2-1)^2+y^2≤1
==>
投影区域:z^2/2≤√(z^2-y^2).
第二种方法:
如果空间的区域不是上面的情况.
就用截面法,如本题向xoz的投影.
先求所围区域和平行xoz面的平面相交部分在xoz的投影.
平行xoz面的平面:∏a:y=a,0≤a≤1.
∏a和区域相交部分在xoz的投影为S(a)
,它为z=√(x^2+a^2)和z=√(2x)所围区域,
其边界的曲线z=√(2x)在z=√(x^2+a^2)之上
==>
S(a)={(x,z),√(2x)≥z≥√(x^2+a^2)}
在求投影区域=∪_{0≤a≤1}S(a),而S(0)包含所有S(a),所以
S(0)=∪_{0≤a≤1}S(a)=
={(x,z),√(2x)≥z≥x},即z=x,√(2x)=z所围的部分.
第二种方法适用于任何区域,但较麻烦.
第一种方法的原理:
区域为对应的两个函数表示的曲面所围,
则其投影为交线的投影所围.
第二种方法的原理:
区域为所有截面的并,则区域的投影=截面投影的并.