- 几何问题已知点A(a,0),P是抛物线y^2=2x上任一点,如果
- 已知点A(a,0),P是抛物线y^2=2x上任一点,如果当且仅当P在原点O时,P到A的距离最短,求a的取值范围。
- 以P为圆心,PO为半径画圆,则圆(x-a)^2+y^2=a^2,
即:x^2+y^2-2ax=0(*)
抛物线y^2=2x(**)
由几何意义可知,方程组(*)(**)至少有一个解(0,0)
当且仅当这方程组只有这一个解时,PA=PO最小,
两方程联列,消去y,得x^2-(2a-2)x=0
x1=0, x2=2a-2
代入(**),
当x=0时,y=0,
当x=2a-2时,y^2=4(a-1),
如果a>1时, 则y有两个不同解,即圆与抛物线有3个不同交点,
如果a=1时,则y=0,即圆与抛物线只有一个公共点O,
如果a<1时,则y无实解,即圆与抛物线只有一个公共点O
所以a的取值范围是a≤1