- 椭圆题设椭圆x^/a^+y^/b^=1(a>b>0)
- 设椭圆x^/a^+y^/b^=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P Q两点,且向量AP=8/5 向量PQ
求椭圆的离心率
若过A Q F三点的圆恰好与直线l:x+√3y+3=0相切 求椭圆方程
- (1) F(-c,0),A(0,b),AF的方程：y=（b/c)(x+c),AQ⊥AF,
∴ AQ的方程:y=(-c/b)x+b,令y=0,得x=b^/c,∴ Q(b^/c,0)
向量AP=(8/5)向量PQ,定比λ=8/5,设P(x',y'),由定比分点公式得
x'=8b^/13,y'=5b/13…①,∵ (bx')^+(ay')^-(ab)^=0…②,
把①代入②得4(e^4)-17e^+4=0,∴e^=1/4或e^=2(舍去),∴ e=1/2
(2) △FAQ 是Rt△,∴它的外接圆圆心C在斜边FQ的中点C(a^/2c,0),
半径=|FQ|/2=a^/2c
⊙C与直线L:x+√3y+3=0相切,|a^/2c+√3×0+3|/2=a^/2c,解得a=^3,
c^=a^/4=3/4,b^=3-3/4=9/4 ,
∴ 椭圆方程为 x^/3+y^/(9/4)=1