- 大家好！请教一道不等式已知x属于[0,1]时，不等式x^2cos
- 已知x属于[0,1]时，不等式x^2cA-x(1-x)+(1-x)^2sinA>0恒成立，试求A的取值范围。
- 解：若对一切x∈[0,1],恒有f(x)=x²cA-x(1-x)+(1-x)²sinA>0
则cosA=f(1)>0,sinA=f(0)>0……(1)
取x0=√sinA/(√cosA+√sinA)∈(0,1),则√cosA·x0-√sinA·(1-x0)=0
由于f(x)=[√cosA·x-√sinA·(1-x)]²+2(-1/2+√cosAsinA)x(1-x).
则00……(2)
当(1)、(2)成立时,f(0)=sinA>0,f(1)=cosA>0
且x∈(0,1)时,f(x)≥2(-1/2+√cosAsinA)x(1-x)>0.
先在[0,2π]中解(1)与(2)：由cosA>0,sinA>0,可得00,√cosAsinA>1/2,sin2A/2>1/3,sin2A>1/2,
0<2A<π,故有π/6<2A<5π/6,所以π/12