- 几何一题P为任意△ABC内的一点，连接AP，BP，CP并延长至对
- P为任意△AB内的一点，连接AP，BP，CP并延长至对边，交点分别为D，E，F点。若△AFP=△BPD=△CPE，求点P是△ABC的重心。
- 分别定义六个三角形: APF, BPD, CPE, BPF, CPD, APE 为三角形
1,2,3,4,5,6
由面积公式可知: BD/DC = △2/△5 = (△1+△4)/(△6+△3)
已知: △1 = △2 = △3
由塞瓦定理: (AE/EC)(CD/DB)(BF/AF) = 1 =>
△4△5△6/(△1△2△3) = 1 =>
△4△5△6 = △1△2△3 (1式)
如果4,5,6的面积都相等则P为重心.如果不等不妨假设6的面积最大.
则: 由1式 => △6 > △3 (否则1式不成立)
=> △4 + △1 > △2 + △5
=> △4 > △5
由1式: △5 < △2
=> △6 + △3 < △4 + △1
=> △6 < △4
与假设△6最大矛盾.所以△6,△5,△4相等=> P为重心
证毕