- 一道高中数学题已知F(θ)=cos^θ+cos^(θ+α)+co
- 已知F(θ)=c^θ+cos^(θ+α)+cos^(θ+β).问是否存在满足0≤α≤β≤π的α.β,使得F(θ)的值不随θ的变化而变化?如果存在,求出α.β的值;如果不存在,请说明理由.
- 已知F(θ)=c^θ+cos^(θ+α)+cos^(θ+β).问是否存在满足的α.β,使得F(θ)的值不随θ的变化而变化?如果存在,求出α.β的值;如果不存在,请说明理由.
F(θ)=cos^θ+cos^(θ+α)+cos^(θ+β)
=(1/2)[(1+cos2θ)+(1+cos2(θ+α))+(1+cos2(θ+β))]
=3/2+(1/2)cos(2θ)+(1/2)[(cos2θcos2α-sin2θsin2α)+(cos2θcos2β-sin2θsin2β)]
=3/2 + (1/2)cos(2θ)[1+cos2α+cos2β) - (1/2)sin2θ*(sin2α+sin2β)
若F(θ)的值不随θ的变化而变化，须有：
1+cos2α+cos2β=0 ........(1)
sin2α+sin2β=0...........(2)
0≤α≤β≤π---->0≤2α≤2β≤2π
由(2): sin2α = -sin2β---->2β=2π-2α
代入(1): 1+cos2α+cos(2π-2α)=1+2cos2α=0
---->cos2α=-1/2--->2α=2π/3（2α=4π/3时，2β≤2α，舍去）--->2β=4π/3
---->α=π/3，β=2π/3