- 高二数学椭圆题已知椭圆x^2/25+y^2/9=1上三点A（x1
- 已知椭圆x^2/25+y^2/9=1上三点A（x1，y1），B（4，y2）,(x3,y3)和焦点F（4，0）的距离依次成等差数列
（1）求x1+x3
（2）求证线段AC的垂直平分线过定点，并求出此顶点的坐标
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- 已知椭圆x^/25+y^/9=1上三点A(x1,y1),B(4,y2),(x3,y3)和焦点F(4,0)的距离依次成等差数列.
（1）求x1+x3; （2）求证: 线段AC的垂直平分线过定点M，并求出M的坐标
椭圆x^/25+y^/9=1--->a=5,b=3--->c=4
--->离心率e=c/a=4/5, 焦点F(4,0)对应的准线l: x=a^/c=25/4
由椭圆第二定义：
|AF|=e(a^/c-x1)=a-ex1=5-(4/5)x1,|BF|=a-e*4=5-(16/5),|CF|=a-ex3=5-(4/5)x3
|AF|、|BF|、|CF|成等差数列--->[5-(4/5)x1]+[5-(4/5)x3]=2[5-(16/5)]--->x1+x3=8
x1^/25+y1^/9=1, x3^/25+y3^/9=1
两式相减：(x1-x3)(x1+x3)/25+(y1-y3)(y1+y3)/9=0
--->72(x1-x3)=-25(y1-y3)(y1+y3)
--->AC的斜率k=(y1-y3)/(x1-x3)=-(72/25)/(y1+y3)
--->AC垂直平分线的斜率k'=-1/k=(25/72)(y1+y3)
--->AC垂直平分线方程：y-(y1+y3)/2=(25/72)(y1+y3)(x-4)
同除以(y1+y3)--->y/(y1+y3)-1/2=(25/72)(x-4)
上式中令y=0----->1/2=(25/72)(x-4)--->x=136/25
即：AC垂直平分线始终过定点 M(136/25,0)