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- 永磁无刷直机负载磁场及其电磁转矩的计算
摘 要：该文在考虑齿槽影响的前提下，建立了永磁无刷电机电枢反应磁场的解析计算模型，求出永磁电机相绕组的自感和互感。在对永磁无刷直流电机空载气隙磁场和空载相绕组反电动势求解的基础上，结合永磁无刷直流电机主电路的拓扑结构，构造出电机绕组的场路耦合模型，由此计算出电机相绕组电流变化波形。在考虑齿槽影响情况下，计算出永磁电机在任意时刻的电枢反应磁场和负载气隙磁场，进而计算出永磁无刷直流电机产生的瞬时电磁转矩，以便定量分析永磁无刷电机的电磁转矩波动和绕组换相引起的转矩波动，为分析永磁无刷直流电机的工作特性和振动噪声提供了可靠的依据。
关键词：永磁电机；负载磁场；电磁转矩；转矩波动
1 引言
由于永磁无刷直流电动机广泛应用于计算机外围设备、家用电器、伺服控制等领域，因此对电机在转矩波动和振动噪声方面提出了十分苛刻的要求。引起振动噪声的一个重要因素是电机的转矩波动，产生转矩波动的主要原因有：① 电磁转矩波动；② 定转子齿槽定位转矩；③ 绕组换相引起的转矩波动。其中②在文献[1]中已作讨论，本文将就①和③进行分析计算，其计算结果为分析和抑制电机的转矩波动和振动噪声提供可靠的依据。
要分析计算永磁电机电磁转矩必须准确计算负载气隙磁场分布及大小。负载磁场随转子旋转位置和电枢绕组电流瞬时值而变化，它是该时刻永久磁钢磁场和绕组电枢反应磁场的合成磁场。前者已在文献[1]中讨论，本文重点讨论永磁电机绕组电流和电枢反应磁场的求取以及电磁转矩的计算。
文献[2]利用解析法计算了无槽永磁无刷直流电机的电枢反应磁场，但其电枢电流为一给定量。文献[3]在不考虑齿槽影响前提下，给出一个经验公式以计算电机的气隙磁场分布，由此计算绕组的电动势和电机的电磁转矩，但忽略了电枢反应对气隙磁场的影响。文献[4]忽略了齿槽影响，用解析法计算了电机的负载磁场。文献[5]假定电枢绕组感生电动势和气隙磁场均为理想的梯形波，建立了电机换相时的电路模型，计算了永磁电机绕组换相引起的转矩波动，但由于忽略了齿槽效应、电枢反应和转子换相位置的影响，使计算结果与实际情况偏差较大，故此计算模型对分析永磁电机转矩波动不适用。
本文在考虑齿槽影响的前提下，利用分离变量法求解永磁电机绕组的电枢反应磁场，求出电机相绕组的自感和互感。在文献[6]对永磁电机空载气隙磁场及其相绕组空载电动势变化波形求解的基础上，结合永磁无刷电机主电路的拓扑结构，构造出电机绕组的场路耦合模型，由此计算出电机相绕组电流变化波形。在考虑齿槽影响时，计算出永磁电机在任意时刻下绕组电枢反应磁场和负载气隙磁场，进而计算出永磁无刷电机产生的电磁转矩变化波形，以便定量分析电机的电磁转矩波动和换相引起的转矩波动，为分析永磁无刷电机的工作特性和振动噪声提供了可靠的依据。
2 电枢反应磁场的计算
假设永磁电机铁心的磁导率为无穷大，不考虑电机端部的影响。如图1(a)所示，单根导体位于光滑电枢表面上时，在极坐标下，电机气隙内标量磁位满足拉普拉斯方程
利用分离变量法解拉普拉斯方程，求得气隙内半径r处的气隙磁密径向分量为[7]
忽略铁心饱和时，永磁电机某个Ns匝的线圈元件通有电流时，其位于电枢槽内的导体电流可等效为位于光滑电枢表面上的电流片，电流片宽度等于槽口宽度b0 [7]，电流片分布为
式中i(t)为相绕组电流瞬时值；a0为槽口宽度角；a为相绕组并联支路数；Ns为线圈元件匝数。
该线圈元件在有槽电机气隙中产生的电枢反应磁场可等效为此电流片在光滑气隙内产生的电枢反应磁场与考虑槽影响的相对比磁导函数的乘积[6]。
由式(3)可推导出该电流片J(t)在光滑气隙内产生的电枢反应磁场为
式中 β为线圈轴线与相绕组轴线的空间夹角。
以双层整距叠绕组为例，设p对极永磁电机相绕组有2p个线圈组，每个线圈组有q个线圈。以a相绕组轴线为极坐标轴，由式(5)可推出一个线圈组在永磁电机光滑气隙中产生的气隙磁场
由于电机电枢绕组的空间对称性，a相绕组2p个线圈组在电机内对称分布，彼此间隔p/p空间角，由式(6)利用叠加原理可求出a相绕组通电流i(t)时，在光滑气隙中半径r处的电枢反应磁场
式(7)中表示的是电枢铁心无齿槽时a相绕组的电枢反应磁场。若考虑齿槽影响时，可利用文献[6]中得到的气隙相对比磁导函数加以修正。注意仍要以a相绕组轴线为极坐标轴，由此求得考虑齿槽影响时a相绕组的电枢反应磁场：
3 相绕组自感、互感的计算
在表面式永磁无刷直流电机中，假设永久磁钢的磁导率近似为μ0，铁心的磁导率μ(Fe)=∞。当转子旋转时，电枢绕组产生的电枢反应磁场并不变化，所以永磁电机相绕组的自感及相绕组间的互感为不变的常量，即La=Lb=Lc=L，Mab=Mba=Mac=Mca=Mcb=Mbc=M。
由式(8)可计算出，电机a相绕组通电流i(t)时所产生的电枢反应磁场Bra(r,a,t)，该电枢磁场Bra(r,a,t)与a相绕组交链的磁链为
式中 l为铁心有效长度；p为电机极对数。
由电感的定义可求得相绕组自感L为
4 相绕组电流的计算
以三相六状态工作的永磁无刷直流电机为例，电机相绕组根据转子位置信号依次导通，使每一状态有两相导通，每相导通120º电角度，每隔60º电角度有一次换相。在电机运行时，逆变器主电路、电枢绕组、转子永磁磁场、绕组电枢反应磁场互相耦合，构成一个场路互相耦合的系统。在忽略铁心饱和时，电机的气隙磁场可等效为转子永磁磁场和相绕组电枢反应磁场的叠加。转子永磁磁场与电枢绕组耦合，在绕组中感生旋转电动势ea(t)、eb(t)、ec(t)，这些在文献[6]中已作讨论。电枢反应磁场与电枢绕组的耦合作用反映为电枢反应磁场在绕组中感生的变压器电势。由于表面式永磁电机相绕组的自感和互感不变，故电枢反应磁场在绕组中感生的变压器电势可等效为绕组自感和互感的作用，因此电机的场路耦合模型可等效为图2所示。
当a、b相导通时，电枢绕组的拓扑结构如图2(a)所示，回路1的回路电流方程为
当由a、b相导通转变为a、c相导通时，即由b相向c相换相时，由于续流二极管的作用，电路的拓扑结构为图2(b)所示。
回路1、回路2的回路电流方程为
其状态方程为
其状态方程为
式中 h为迭代步长。
由式(14)、(16)、(18)、(19)和电机绕组的导通顺序，可分别求得各相绕组的电流变化波形。根据图2电路的拓扑结构可求得a相绕组的负载感生电动势ea1为
5 电机负载气隙磁场和电磁转矩的计算
在忽略铁心饱和时，永磁电机的负载气隙磁场可等效为转子永磁磁场与电枢反应磁场的叠加。以a相绕组轴线为极坐标轴，且当永磁N极轴线与a相绕组轴线重合时为t=0时刻，当电机的转子位于λ角位置时，气隙中的负载磁场为
式中γ=w.t；Brm(r,a-γ)为转子永磁位于γ角位置时，在光滑气隙内产生的磁场；w为电机的角速度。
在电机槽内导体产生的电磁力等效于导体电流均匀分布于槽口位置所产生的电磁力[7]。假设a、b、c相绕组电流均匀分布于相应的槽口位置，由于载流导体产生的电磁力f=Bil，则电机的电磁转矩为
6 解析计算结果的分析
为了验证本解析计算模型的正确性，仍以文献[6]中一台6极9槽齿面加两个辅助凹槽永磁无刷直流电机为例进行计算。当a相绕组电流为1A时，利用式(7)和式(8)计算a相绕组在电机气隙中的电枢反应磁场如图3所示。
从图3中可知有限元计算结果与解析计算结果吻合很好，曲线的下凹处与槽口位置对应，可见气隙相对比磁导函数可较好地反应齿槽对磁场的影响，证明上述电枢磁场的解析计算方法是正确的。
利用式(10)、(12)计算出样机相绕组的自感、互感值，结合图2的场路耦合模型及其状态方程可计算出电机运行于1500r/min时，三相绕组的电流变化波形如图4(a)所示，进一步计算出永磁电机的电磁转矩变化波形如图4中曲线4所示。图4(b)为利用二维有限元计算的永磁电机相电流和电磁转矩变化波形。
从图4中可以看出在t=2.2ms时，电机b相向c相换流，在换流过程中b、c相的电流变化率不同，导致a相电流出现急剧变化，从而引起电机的电磁转矩波动，在绕组正常导通时电磁转矩波动较小，所以换相引起的转矩波动对电机的性能影响较大，应采用合理措施加以减小，从图4(a)、4(b)可见该方法的计算结果与有限元计算结果基本吻合，证明该方法是可行的。
由图4(a)可看出：在t1=0.2ms时，a相刚刚开始正向导通、b相反向导通，此时电枢反应磁场应为去磁性质；在t2=2.13ms时，为b相向c相换流的前一时刻，电枢反应磁场应为助磁性质。由式(21)计算t1、t2时刻的负载气隙磁场分布如图5中曲线2所示，同时利用有限元对两时刻的负载气隙磁场进行计算如图5中曲线1所示，从图5(a)、(b)可见计算结果与上述分析的电枢反应磁场性质是一致的。由于电机的相绕组采用了120º相带分布，两相导通时电枢反应磁场为非对称场，所以负载磁场N、S极磁场分布并不对称。从图中可看出负载气隙磁场的解析计算结果与有限元计算结果是一致的，证明该方法是正确的、可靠的。
7 结论
本文在考虑齿槽影响的前提下，建立了电枢反应磁场和负载气隙磁场的解析计算方法，构造了表面式永磁电机的场路耦合模型。计算出永磁无刷电机运行时相绕组的电流变化波形和任意时刻下负载磁场的分布，由此计算出永磁电机电磁转矩变化波形，可以定量分析电机的电磁转矩波动和换相引起的转矩波动，为分析和抑制电机的振动噪声提供可靠的依据，也为永磁无刷直流电机的优化设计提供了有力工具。