- 圆的内接五边形的作图及证明尺规作图:作一个已知圆的内接正五边形,
- 尺规作图:作一个已知圆的内接正五边形,请写明步骤,并证明其结果为正五边形!
- 在半径为1的圆O内作互相垂直的两条直径PQ和AM
作OQ的垂直平分线交OQ于R
以R为圆心,为半径画弧交OP于H
AH就是这圆内接正五边形的边长.
以A为圆心,AH为半径画弧交圆于B,E两点,
分别以B,E为圆心,AH为半径画弧交圆于C,D,
顺次连结ABCDEA,五边形ABCDE就是所要画的正五边形.
证明过程比较麻烦,等一会儿再证.
先证AH=√[(5-√5)/2]
由作图可知: OR=1/2, RA=(1/2)√5, RH=RA=(1/2)√5,
OH=(√5-1)/2, OA=1 ∴AH=√[(5-√5)/2]
再证cos72°=(√5-1)/4
设a=36°,2a=72°,3a=108°,sin3a=sin2a
sin3a=sin2acosa+cos2asina=……=3sina-4(sina)^3
sin2a=2sinacosa
3sina-4(sina)^3=2sinacosa, 3-4(sina)2=2cosa
4(cosa)^2-2cosa-1=0, cosa>0, ∴cosa=(√5+1)/4
cos2a=2(cosa)^2-1=(√5-1)/4, ∴cos72°=(√5-1)/4
证明∠AOB=70°
△AOB中，OA=OB=1，AB=AH=√[(5-√5)/2]
由余弦定理，cosAOB=(1+1-[(5-√5)/2])/2=(√5-1)/4=cos72°
∴∠AOB=72°
最后证明五边形ABCDE是正五边形
由AB=AE=BC=ED可知，
∠AOB=∠AOE=∠BOC=∠EOD=72°
∴∠COD=360°-4*72°=72°
A，B，C,D,E将圆五等分
∴五边形ABCDE是正五边形
证明完毕
请仔细阅读，欢迎指正。