- 算术平均数与几何平均数已知a，b都是正数，求证2除以a分之一加b
- 已知a，b都是正数，求证2除以a分之一加b分之一小于等于根号ab小于等于2分之a+b小于等于根号二分之a的平方加b的平方。
- 已知a，b都是正数，求证2除以a分之一加b分之一小于等于根号ab小于等于2分之a+b小于等于根号二分之a的平方加b的平方。
看得好累,先"一下:
2/(1/a+1/b)<=√(ab)<=(a+b)/2<=(a^2+b^2)/2 (*)
(1) √(ab)<=(a+b)/2
证明:√(ab)<=(a+b)/2<=>a-2√(ab)+b>=0
<=>(√a-√b)^2>=0 (最后的不等式显然成立)
(2)2/(1/a+1/b)<=√(ab)
证明: 2/(1/a+1/b)<=√(ab)<=>2ab/(a+b)<=>√(ab)
<=>√(ab)<=(a+b)/2 (已证成立)
(3)(a+b)/2<=(a^2+b^2)/2
证明:(a+b)/2<=√[(a^2+b^2)/2]<=>((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2
<=>2ab<=a^2+b^2<=>a^2+b^2-2ab>=0
<=>(a-b)^2>=0 (最后的不等式显然成立)
由不等式(1),(2),(2)知,不等式链(*)成立.