- 数列问题求高手解答
- 以下sqrt(x)表示x的平方根,x^2表示x的平方。
1.解:显然该数列的各项都是正数。
a(n+1)=a(n)+sqrt(a(n)^2+1)
用1除以上式两边得
1/a(n+1)=sqrt(a(n)^2+1)-a(n)
两式相减再除以2得
a(n)=(a(n+1)^2-1)/2a(n+1)
由题意得
tanθ(n)=(tanθ(n+1)^2-1)/2tanθ(n+1)
即
tanθ(n)=-1/tan2θ(n+1)
也就是说
tanθ(n)=tan(2θ(n+1)-π/2)
由0<θ(n+1)<π/2得
-π/2<2θ(n+1)-π/2<π/2.
再由0<θ(n)<π/2得
θ(n)=2θ(n+1)-π/2
也就是
(θ(n)-π/2)/2=θ(n+1)-π/2
由题意得
θ(1)=π/4
因此{θ(n)-π/2}是以-π/4为首项,1/2为公比的等比数列。
(2)解:显然{a(n)}严格递增,且
a(2)=1+sqrt(2)>2>π/2.
当n=1时,
a(1)+a(2)+......+a(n)=a(1)=1>(1-1)π/2.
假设当n=k时结论成立,则当n=k+1时,
a(1)+a(2)+......+a(n)
=a(1)+a(2)+......+a(k+1)
>(k-1)π/2+a(k+1)
>(k-1)π/2+π/2
=kπ/2
=(n-1)π/2
因此当n=k+1时原结论成立。
综上所述,对于任意正整数n,原结论成立。