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先举个例子
设F(X)在[A,B]连续,在(A,B)可导,且F(A)=F(B)=0,求证存在S属于(A,B),使
S*F(S)+F‘(S)=0
这类问题都可以化成求S,使F(S)=G(S)*F’(S)的问题,
解决方法是构造函数。
令 G1(X)=-1/G(X)的积分
Q(X)=e^G1(X)
则我们构造出F(X)*Q(X)这个函数,再用柯西定理去解决。
试试看,不用再绞尽脑汁去构造函数。
文章开头的例子的解法:
求S 使S*F(S)+F‘(S)=0
即F(S)=-1/S*F‘(S)
令G(X)=-1/X
则G1(X)=-1/G(X)积分=X积分=X*X/2
则Q(X)=e^(X*X/2)
现在我们构造出函数 P(X)=F(X)*Q(X)=F(X)*e^(X*X/2)
则函数P(X)在[A,B]连续,在(A,B)可导,且P(A)=P(B)=0
根据柯西定理,存在一点S,使P’(S)=0
P‘(X)=F(X)*e^(X*X/2)*X+F’(X)*e^(X*X/2)
=[X*F(X)+F‘(X)]*e^(X*X/2)
存在S使P’(X)=0,
因为e^(X*X/2)《》0
所以S*F(S)+F‘(S)=0
这些通用解法可以节省时间,否则要想出Q(X)=e^(X*X/2)太费劲