- 证明曲面F(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^2
- 证明曲面F(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^2 - 16(x^2+z^2)=0是旋转曲面
还有个问题
为什么x^2+y^2=1+2cz
是方程 x^2=1+2cosz和y=0
绕z轴旋转而得的（不能倒推，一步一步是怎么解的？）
做这类题目的方法是什么？？
- 实际你问的就是同一个问题
就以所出题目为例
观察方程形式可知，F(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^2 - 16(x^2+z^2)=0
中x,z具有同等地位，而y例外，考察是否为旋转面，就要令y=b，它表示平面（平行于xOz平面），得到
(x^2+z^2+b^2)^2-16(x^2+z^2)=0
(b^2-4-3x^2-3z^2)(5x^2+5z^2+b^2)=0
x^2+z^2=(4-b^2)/3,当b^2<4时，表示一个圆（在平面y=b上），而且对所有y允许值都表示圆或点，这样就表明是一个旋转面；接下来实际就是研究这个旋转面可以由哪条曲线（母线）绕何处（轴）旋转而成，一般情况下，母线有无穷多条，我们只需要确定其有代表性又简单的曲线就行了，此例中只要看这个曲面与xOy（或zOy)的交线，就是z=0且3x^2-y^2+4=0（请注意，这样两个方程同时成立是表示空间曲线的！你后面提到问题也是如此），轴当然就是y轴了！
根据我以上说明，后一个问题中的曲线只是其中一条，当然也可以是y^2=1+2cz,x=0（请注意，这样两个方程同时成立是表示空间曲线的！），甚至还可以是其他的非平面曲线！这样不知能否明白？
如果你仔细阅读前面的说明，也就知道怎样解决这类问题了。
……顺祝进步！