- 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点为?
- 圆上，P的中点Q在y轴上，且∠PF1F2=π/6.
(1)求椭圆方程和点p的坐标；
（2）在上述椭圆上是否存在点M，使它到点N（0,3）的最长距离为6，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
- 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点为,F2，横坐标为根号3的点P在椭圆上，PF1的中点Q在y轴上，且∠PF1F2=π/6.
(1)求椭圆方程和点p的坐标；
过点P作x轴的垂线，垂足为A
因为QO⊥x轴，PA⊥x轴
所以，QO//PA
已知点Q为PF1中点，那么QO为△PF1A中位线
所以，O为F1A中点
所以，点A与F2重合
则，F1(-√3,0)，F2(√3,0)
所以，F1F2=2c=2√3
在Rt△PF1F2中，∠PF1F2=π/6，则：PF2=F1F2*tan(π/6)=2√3*(√3/3)=2
即，点P(√3,2)
点P在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）上，则：
3/a^2+4/b^2=1
c^2=a^2-b^2=3
联立解得：a^2=9，b^2=6
所以，椭圆方程为：x^2/9+y^2/6=1
（2）在上述椭圆上是否存在点M，使它到点N（0,3）的最长距离为6，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
已知椭圆方程为x^2/9+y^2/6=1，点M为其上一点
不妨设点M(3cosα,√6sinα)
那么，它与点N(0,3)之间的距离为：d^2=(3cosα-0)^2+(3-√6sinα)^2
=9cos^2 α+9+6sin^2 α-6√6sinα
=9(sin^2 α+cos^2 α)-3sin^2 α-6√6sinα+9
=9-3sin^2 α-6√6sinα+9
=-3sin^2 α-6√6sinα+18
=-3*(sin^2 α+2√6sinα+6)+36
=-3*(sinα+√6)^2+36≤36
当且仅当sinα=-√6时取等号，此时MN的最大距离为6
但是，sinα∈[-1,1]，它不可能=-√6
所以，不存在这样的点M