- 不等式证明已知a、b、c是非负实数，求证:(a^5
- 已知a、b、c是非负实数，求证:(a^5-a^3+3)(b^5-b^3+3)(c^5-c^3+3)≥3(a+b+c)^2。
- 证明:
依排序不等式，得
a^3·a^2+1·1≥a^3·1+a^2·1
→a^5-a^3+3≥a^2+2.
同理，
b^5-b^3+3≥b^2+2，
c^5-c^3+3≥c^2+2.
三式相乘，得原不等式等价式:
(a^5-a^3+3)(b^5-b^3+3)(c^5-c^3+3)≥(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)，
对于上式右边，
利用(b-c)^2+2(bc-1)^2≥0及Cauchy不等式，得
(b^2+2)(c^2+2)≥3[1+(b+c)^2/2]
→(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)
≥3(a^2+2)[1+(b+c)^2/2]
≥3(a+b+c)^2，
故原不等式成立。