- 一道立体几何题已知球的半径为R，在球内做一个内接圆柱，当这个圆柱
- 已知球的半径为R，在球内做一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？
请给出具体过程，有必要可图，谢谢
- 已知球的半径为R，在球内做一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？
请给出具体过程，有必要可图，谢谢
如图
设内接圆柱体的底面半径为r
那么，圆柱体的高h=2*√(R^2-r^2)
所以，圆柱体的侧面积S=2πrh=2π*r*2√(R^2-r^2)
=4π*r*√(R^2-r^2)
令S(r)=4π*r*√(R^2-r^2)
则，S'(r)=4π[√(R^2-r^2)+r*(1/2)*(-2r)/√(R^2-r^2)]
当S'(r)=0时有最大值
所以，[√(R^2-r^2)+r*(1/2)*(-2r)/√(R^2-r^2)]=0
解得：r=(√2/2)R
此时，h=2*√(R^2-r^2)=√2R
或者：
令S(r)=4π*r*√(R^2-r^2)
因为0＜r＜R
所以，令r=Rcosθ（0＜θ＜90°）
则，S(r)=4π*Rcosθ*√(R^2-R^2cos^2 θ)
=4π*Rcosθ*Rsinθ
=2πR^2*sin(2θ)
很明显，当sin(2θ)=1时有最大值
此时，θ=45°
所以，r=Rcosθ=(√2/2)R
h=2Rsinθ=(√2)R