- 高二数学几何正方体ABCD
- 正方体AB-A'B'C'D'的棱长为a,M是AD的中点,N是BD'上一点,且D'N ：NB＝1 ：2，MC与BD交与P。
1）求证：NP⊥平面ABCD
2）求：平面PNC与平面CC'D'D所成的角
- 正方体AB-A'B'C'D'的棱长为a,M是AD的中点,N是BD'上一点,且D'N ：NB＝1 ：2，MC与BD交与P。
1）求证：NP⊥平面ABCD
因为底面ABCD为正方形，所以：MD//BC
所以，MD/BC=DP/PB
已知点M为AD中点
所以，MD=AD/2=BC/2
所以，DP/PB=1/2
已知，D'N/NB=1/2
所以，DP/PB=D'N/NB
所以，NP//D'D
而，D'D⊥面ABCD
所以，NP⊥面ABCD
2）求：平面PNC与平面CC'D'D所成的角
由前面知，NP//DD'//CC'
所以，CC'包含于面PNC
又，CC'包含于面CC'D'D
所以，CC'是面PNC与面CC'D'D的交线
已知，CC'⊥面ABCD
所以，CD⊥CC'，且PC⊥CC'
所以，∠PCD即为面PNC与面CC'D'D所成的角
CD=a，BD=√2a
而由前面知，DP/PB=1/2
所以，DP=DB/3=(√2a)/3……………………………………（1）
在Rt△CDM中，由勾股定理有：MC=√(CD^2+MD^2)=√[a^2+(a/2)^2]=(√5a)/2
且MP/PC=1/2
所以，PC=(2/3)MC=(√5a/2)*(2/3)=(√5a)/3……………（2）
所以，在△PCD中，PC=(√5a)/3，CD=a，DP=(√2a)/3
所以，由余弦定理有：cos∠PCD=(PC^2+CD^2-PD^2)/(2*PC*CD)
=[(√5a/3)^2+a^2-(√2a/3)^2]/[3*(√5a/3)*a]
=[(5a^2/9)+a^2-(2a^2/9)]/(√5a^2)
=(4a^2/3)/(√5a^2)
=(4√5)/15
所以，∠PCD=arccos(4√5/15)