- 含参不等式设a、b、c∈R+,λ≥0.求证：(√(a^2+λb^
- 设a、b、c∈R+,λ≥0.求证：
(√(a^2+λb^2))/a+(√(b^2+λc^2))/b+(√(c^+λa^2))/c≥3√(1+λ).
- 证法一：
依对称性，可设a+b+c＝1.
构造下凸函数f(s,t)＝[√(s^2+λt^2)]/s,则
f(a,b)+f(b,c)+f(c,a)≥3f[(a+b+c)/3,(a+b+c)/3]＝3f(1/3,1/3)
∴[√(a^2+λb^2)]/a+[√(b^2+λc^2)]/b+[√(c^2+λc)]/c
≥3√[(1/3)^2+λ·(1/3)^2]/(1/3)
＝3√(1+λ),
故原不等式得证.
证法二：
[√(a^2+λb^2)]/a+[√(b^2+λc^2)]/b+[√(c^2+λa^2)]/c
＝√[1+λ(b/a)^2]+√[1+λ(c/b)^2]+√[1+λ(a/c)^2]
＝|1+√λ·(b/a)i|+|1+√λ·(c/b)i|+|1+√λ·(a/c)i|
≥|3+√λ·(b/a+c/b+a/c)i|
＝√[9+λ(b/a+c/b+a/c)^2]
≥√(9+9λ)
＝3√(1+λ).
故原不等式得证。