- 问几道高二数学题，谢谢！1.过抛物线y^2=4x的焦点F作直线交
- 1.过抛物线y^2=4x的焦点F作直线交此抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|等于？
2.在区间[1/2,2]上，f（x）=x^2+bx+c(b,c∈R)于g（x）=（x^2+x+1）/x在同一点上取得相同的最小值，那么f（x）在区间[1/2,2]上的最大值为？
3.在平面直角坐标系中，椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦距为2c，以原点O为圆心，a为半径作圆，过点（a^2/c，0）做圆的两切线互相垂直，则离心率e=？
请给尽量详细的讲解，
- 1.过抛物线y^2=4x的焦点F作直线交此抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|等于？
抛物线y^2=4x的准线为x=-1
抛物线上的点到焦点和准线的距离相等
分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为、D
则，AC=AF=x1+1、BD=BF=x2+1
所以，AB=AF+BF=x1+1+x2+1=(x1+x2)+2=8
2.在区间[1/2,2]上，函数f（x）=x^2+bx+c(b,c∈R)于g（x）=（x^2+x+1）/x在同一点上取得相同的最小值，那么f（x）在区间[1/2,2]上的最大值为？
g(x)=(x^2+x+1)/x=x+1+(1/x)=[x+(1/x)]+1≥2√[x*(1/x)]+1
=2+1=3
当且仅当x=1/x，即x=1时候取等号
所以，g(x)|min=g(1)=3
所以：f(x)=x^2+bx+c也在x=1时候有最小值3
因为x=1∈[1/2,1]
所以，x=1是f(x)=x^2+bx+c的对称轴
所以：x=-b/2=1
则，b=-2
又，f(1)=1+b+c=3
所以，c=4
所以，f(x)=x^2-2x+4=(x-1)^2+3
那么，它在[1/2,2]上的最大值为f(2)=4
3.在平面直角坐标系中，椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦距为2c，以原点O为圆心，a为半径作圆，过点（a^2/c，0）做圆的两切线互相垂直，则离心率e=？
如图
设点A(a^2/c,0)
过点作圆O的切线，切点分别为B、C
连接OB、OC
则，OB⊥AB，OC⊥AC
已知AB⊥AC
所以，四边形ABOC为正方形
所以，正方形对角线OA=√2*OB=√2a
即，a^2/c=√2a
所以，a=√2c
那么，椭圆的离心率e=c/a=√2/2