- 几何竞赛题在锐角三角形ABC中,BE,CF为高,BM,CN为角平
- 在锐角三角形AB中,BE,CF为高,BM,CN为角平分线.证明锐角三角形ABC的内心I在线段EF上的充要条件是外心O在MN上.
- 在锐角三角形AB中,BE,CF为高,BM,CN为角平分线.证明锐角三角形ABC的内心I在线段EF上的充要条件是外心O在MN上.
简证 △ABC为锐角三角形,所以外心O在形内.
设BC=a,CA=b,AB=c,O到三边BC,CA,AB的距离分别为X,Y,Z.则
X=R*cosA,Y=R*cosB,Z=R*cosC,
AM=bc/(a+c),AN=bc/(a+b),
AE=c*cosA,AF=b*cosA.
(一),O在MN上.
因为S(AMN)=S(AOM)+S(AON)
<===>
S(ABC)*(AM/AC)*(AN/AB)=S(AOM)+S(AON)
<===>
(aR*cosA+bR*cosB+cR*cosC)*[b/(a+b)]*[c/(a+c)]
=bcR[cosC/(a+b)+cosB/(a+c)]
<===>
cosA=cosB+cosC (1)
(二)I在EF上
因为S(AEF)=S(AIE)+S(AIF)
<===>
S(ABC)*(AE/AC)*(AF/AB)=S(AIE)+S(AIF)
<===>
r(a+b+c)(cosA)^2=r(b+c)cosA
<===>
(a+b+c)cosA=b+c
<==>
(a+b+c)cosA=c*cosA+a*cosC+b*cosA+a*cosB
<===>
cosA=cosB+cosC (2)
因此 O在MN上<==>I在EF上.