- 重心性质如何证明重心到三角形3个顶点距离的平方和最小?
- 重心性质 如何证明重心到三角形3个顶点距离的平方和最小?
- 命题 在ΔAB中，G是重心,M是平面上任一点。求证;
MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2
证明 ΔABC的三条中线AD,BE,CF交于G，不妨设M在ΔBGC内。
对于ΔAMD和G，由斯特瓦尔定理得;
MA^2*DG+MD^2*AG-MG^@*AD=AD*DG*AG
因为 DG=AD/3,GA=2AD/3，代入整理得:
3*MG^2=MA^2+2*MD^2-2*AD^2/3 (1)
容易算出，在ΔMBC和ΔGBC中有
MD^2=(MB^2+MC^2)/2-BC^2/4
GD^2=(GB^2+GC^2)/2-BC^2/4
将上述两式代入(1) 式得:
3*MG^2=MA^2+MB^2+MC^2-(GB^2+GC^2)+2GD^2-2*AD^2/3
= MA^2+MB^2+MC^2-( GA^2+GB^2+GC^2)
所以 MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2
从等式显然可看出, 当M异于G时，有
MA^2+MB^2+MC^2>GA^2+GB^2+GC^2
所以到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。