- 求角度在△ABC中，己知a=2bcosC,sinA*sin(B/
- 在△AB中，己知a=2bcosC,sinA*sin(B/2+C)=sinC*[sin(B/2)+sinA].
求这个三角形的各个内角。
- 在△AB中，己知a=2bcosC,sinA*sin(B/2+C)=sinC*[sin(B/2)+sinA].
求这个三角形的各个内角。
给出一个几何证明.
首先翻译上述命题。
设BC=a,CA=b,AB=c,BD是∠ABC的平分线,交AC于D.
由题设条件:
a=2bcosC,<==> AB=AC,∠B=∠C.
sinA*sin(B/2+C)=sinC*[sin(B/2)+sinA]
<==> BC=BD+AD.
所求三角形的各个内角.
故上述命题等价于:
在等腰△ABC中，AB=AC,BD是∠B的平分线,交AC于D,且BC=AD+BD。
求这个△ABC的各个内角。
证明 在BC上取BA=BA',连DA'.
显然△ABD≌△A'BD,==>AD=DA'.
设∠DBC=x,则∠B=∠C=2x,∠A=180°-4x,
∠BDC=180°-3x,∠ADB=∠A'DB=3x,∠DA'C=4x.
在BC上选点E,使∠CDE=2x,则△CDE为等腰三角形,得DE=CE.
易证∠DEA'=4x=∠DA'E,==>△DA'E为等腰三角形,
得DE=CE=DA'=AD.
∵BC=BD+AD=BD+CE,∴BD=BE,∠BDE=∠BED=4x.
故9x=180° <==> x=20°
因此∠A=100°,∠B=∠C=40°.