- 计算方法问题设A∈Rn*n是一个对称正定阵，λ1(λn)>
- 设A∈Rn*n是一个对称阵，λ1(λn)>0分别是它的最大（小）的特征值，建立迭代法
xk+1=(I-αA)xk+(xk-xk-1)β+αb k=0,1,2...求出α，β
的范围使迭代法收敛。并求出最好的α* β*使得迭代法具有最快的收敛速度。
哪个高手能帮个忙啊？因为这个迭代法中xk+1和xk,
xk-1都有关，所以感觉很困难
- 以介绍方法为主.
讨论和x1,x2无关的情况.
1.
α=0
==>
x(k+1)=xk+(xk-x(k-1))β
==>
|β|<1时,迭代法收敛,α=β=0收敛速度最快.
以后设α≠0.
2.
先看数的递推公式.
T(n+2)+sT(n+1)+tTn=c,1+s+t≠c
==>
Tn=w*(x1)^n+u*(x2)^n+c/[1+s+t],
其中x1,x2为:S^2+sS+t=0的2个不同根(重根的原理相同).
则Tn收敛,只需|x1|,|x2|<1,(x1可以=1).
则这时的收敛条件为:
(1)s^2-4t>0,|s|<2,1-s+t>0,1+s+t>0.
或
(2)s^2-4t<0,|t|<1
3.
A∈Rn*n是一个对称正定阵==>
有正交阵P使,PAP^(-1)=g{λ1,λ2,..,λn},
λ1≥λ2≥..≥λn>0.
设yi=Pxi=(y(i,1),..,y(i,n))^t,b'=Pb=(c1,..,cn)^t
==>
y(k+1)-diag{1+β-αλ1,..,1+β-αλn}yk+βy(k-1)=αb'
==>
1≤j≤n ,y(k+1,j)-(1+β-αλj)y(k,j)+βy(k-1,j)=αcj
由2.得收敛条件为:
(1)
4>(1+β-αλj)^2>4β,2+2β>αλj>0,
或
(2)
(1+β-αλj)^2<4β<4.
4.
如果没有其他条件
α=β=0时,收敛速度最快.
以上在3.中(1)或(2)的条件可以根据λj继续讨论,
但较麻烦,所以只提供思路.