- 几何证明题
- 己知P为正七边形ABEFG的外接圆AG圆弧上一点。
求证:PA+PC+PE+PG=PB+PD+PF
- 证明 设正七边形的边长较短对角线和较长对角线分别为a，m，n。据托勒密定理，
在圆内接四边形PABG中，
PA*m+PG*a=PB*a (1)
在圆内接四边形PAFE中，
PA*a+PG*m=PF*a (2)
(1)+(2)得:
PA*m+PG*a+ PA*a+PG*m= PB*a+ PF*a (3)
在圆内接四边形PABD中，
PA*m+PD*a=PB*n 即 PA*m=PB*n-PD*a (4)
(4)代入(3)式得:
PB*n+PG*a+PA*a+PG*m=a*(PB+PD+PF) (5)
在圆内接四边形PBDG中，
PB*n+PG*m=PD*m (6)
(6)代入(5)式得:
PA*aPG*a+PG*m= a*(PB+PD+PF) (7)
在圆内接四边形PE中，
PC*a+PE*a=PD*m (8)
(8)代入(7)式得:
a*(PA+PC+PE+PG)=a*(PB+PD+PF)
因为a≠0, 所以PA+PC+PE+PG=PB+PD+PF，证毕。
备注: 设P为正(2n+1)边形[n>=2,n为自然数]A1A2…A(2n+1) 的外接圆A1A(2n+1) 圆弧上任一点。则有
PA1+PA3+PA5+…+PA(2n-1)+PA(2n+1)=PA2+PA4+PA6+…+PA(2n-2)+PA(2n)