- 求四边形面积最值。过圆锥曲线的焦点作两互相垂直的弦与曲线交于四点
- 过圆锥曲线的焦点作两互相垂直的弦与曲线交于四点A、B、、D，求四边形ABCD面积S的最值。
- 以圆锥曲线焦点F为极点，对称轴为极轴建立极坐标系，
且设弦A倾角为θ，
则与AC垂直且过F的弦BD的倾角为π/2+θ.
设四边形ABCD面积为S，则圆锥曲线为
ρ=ep/(1-ecosθ)，所以
{ρ1=|AF|=ep/(1-ecosθ)
{ρ2=|CF|=ep/(1-ecos(π+θ))
{ρ3=|BF|=ep/(1-ecos(π/2+θ))
{ρ4=|DF|=ep/(1-ecos((3π/2)+θ))
∴S=(1/2)|AC|·|BD|
=(1/2)(ρ1+ρ2)(ρ3+ρ4)
=2(ep)^2/[1-e^2+(1/4)e^4(sin2θ)^2].
⑴e≠1，(sin2θ)^2=0，即θ=0或π/2时，
S|max=2(ep)^2/(1-e^2);
(sin2θ)^2=1，即θ=π/4或3π/4时，
S|min=2(ep)^2/[1-e^2+(1/4)e^4]=8(ep)^2/(e^2-2).
⑵当e=1时(此时曲线为抛物线)，
S=8p^2(csc2θ)，
只有当(sin2θ)^2=1，即θ=π/4或3π/4时，
S|min=8p^2，
无最大值S|max。