- 不等式怎样证明?a3+b3+c3≥3abc(a+b+c)/3≥(
- a3+b3+c3≥3abc
(a+b+c)/3≥(三次根号)√abc
这两个用初等(中学数学)怎么证明啊?
多谢了!
- a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3)+c^3-3a^2*b-3ab^2-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(1/2)*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
因为[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0,当仅当a=b=c时等号成立
又因为：a+b+c>0.
所以(1/2)*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
于是对一切正实数a、b、c都有a^3+b^3+c^3≥3abc成立。
当仅当a=b=c时等号成立。
至于第二个不等式，只需把第一个不等式中的a换成(三次根号)√a，把b换成(三次根号)√b，把c换成(三次根号)√c，就可以得到第二个不等式了。
第一个不等式还可以这样证：
(a3+b3)-[(a^2)b-a(b^2)]
=[a^3-(a^2)b]-[(a^2)b-b^3]
=[(a^2)-(b^2)]*(a-b)
=(a+b)*(a-b)^2≥0
即 a3+b3≥(a^2)b＋a(b^2)（等号成立的条件是a＝b）
同理b3+c3≥(b^2)c＋b(c^2)（等号成立的条件是b＝c）
c3+a3≥(c^2)a＋c(a^2)（等号成立的条件是c＝a）
把以上三式相加可得：
2(a3+b3+c3)≥(a^2)b＋a(b^2)+(b^2)c＋b(c^2)+(c^2)a＋c(a^2)
＝[(a^2)+(b^2)]c+[(b^2)+(c^2)]a+[(c^2)+(a^2)]b
≥2abc+2abc+2abc
＝6abc
所以 a3+b3+c3≥3abc，当仅当a=b=c时等号成立。