- 请教数学高手
- 第11题
证明:在坐标平面上存在一个同心圆的集合，
使得(1)每个整点都在此集合的某一圆上;
(2)此集合的每个圆周上有且只有一个整点 。
- 先证明一个命题如下.
命题：若有理数a,b,c，使a+b√2+c√3=0，则a=b=c=0
证：a^2=（b√2+c√3）^2=2b^2+3c^2+2bc√6
√6为无理数，得bc=0，则a+c√3=0，或 a+b√2=0
√2，√3为无理数，得a=b=c=0。
再回答你的问题.
1.
设C(m,n)为圆心（√2，√3），
半径=√[（√2- m）^2+（√3- n）^2] 的圆，
则显然有(m,n)在C(m,n)上。
2.
若(m,n)，(m’,n’)在C(m,n)上，则
（√2- m）^2+（√3- n）^2=（√2- m’）^2+（√3- n’）^2得
m^2+ n^2 –m’^2-n’^2+2（ m-m’）√2+2（ n- n’）√3=0。
由命题得，n- n’= m-m’=0
所以C(m,n)上只有一个整数点。