- 求机械能守恒定律的三个表达式，请求附上三道对应习题
- 求能守恒定律的三个表达式，请求附上三道对应习题
- 机械能守恒定律
【重点难点解析】
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本节重点是理解机械能守恒定律的内容，列出定律的表达公式.难点是在具体情况下，物体机械能是否守恒，机械能守恒与动量守恒的条件比较.
应用机械能守恒定律，只须考虑相互作用的物体系统的初、末状态的物理量，而不须分析中间过程的复杂变化，使处理的问题得到简化.应用机械能守恒定律时，相互作用的物体间的力可以是变力，也可以是恒力.只要符合守恒条件，机械能就守恒.
机械能守恒条件和动量守恒条件不同.机械能是否守恒，决定于是否有重力和弹力以外的力做功，而动量守恒，决定于是否有外力作用.所以，在利用机械能守恒定律处理问题时要着重分析力的做功情况，看是否有重力和弹力以外的力做功；在利用动量守恒定律处理问题时着重分析系统的受力情况(不管是否做功)，并着重分析是否有外力作用或合外力是否为零.应特别注意：系统动量守恒时，机械能不一定守恒；同样机械能守恒的系统，动量不一定守恒，这是两个守恒定律的守恒条件不同的必然结论.
【命题趋势分析】
机械能守恒定律是力学中的重要定律，也是考查的重点内容之一.
核心知识
【基础知识精讲】
1.机械能
动能和势能(包括重力势能和弹性势能)，统称为机械能，即
E=Ek+Ep.
2.机械能守恒定律内容及其数学表达式
(1)机械能守恒定律：在只有重力(或弹簧的弹力)做功的情形下，物体的动能和重力势能(或弹性势能)发生相互转化，但机械能的总量保持不变.
(2)机械能守恒定律的表达方式，在各种具体问题中，可根据解题的需要，以简便为原则列出不同形式的表达式.一般有下列几种常见形式：
①物体在初状态的机械能E1等于其末状态的机械能E2，即E2=E1或Ek2+Ep2=Ek1+Ep1
②减少(或增加)的势能△Ep等于增加(或减少)的总动能△Ek,即△EP=△Ek.
③系统内一物体机械能的增加(或减少)等于另一物体机械能的减少(或增加)，即△E1=-△E2
机械能守恒定律的推导
下面我们就重力做功的情形定量地研究这个问题．
图5-16(如附件所示)
我们先用自由落体作例子定量地研究动能和重力势能的转化（图5-16）．设有一个质量为m的物体，从高度为h1的起点下落到高度为h2的终点．设物体在起点的速度为v1，在终点的速度为v2．物体在下落过程中，重力做了功.从动能定理知道。重力所做的功等于物体动能的增加，即
．
另一方面，从重力做功与重力势能的关系知道，重力所做的功等于重力势能的减少，即
．
这样，我们得到
．
这就是说，重力做了多少功，就有多少重力势能转化成等量的动能．把上式移项后得到
．
上式表示，物体在自由下落中，它的重力势能转化成动能，但在任何时刻，动能和重力势能之和，亦即它的机械能保持不变．
(3)机械能守恒定律的具体内容包含以下几种情形：
在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变；
在只有弹簧弹力做功的情形下，物体的动能和弹簧的弹性势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变；
在只有重力做功和弹簧弹力做功的系统内，则系统的动能，重力势能和弹性势能之间发生相互转化，但三种形式能量之和即机械能总量保持不变.
(4)由于组成机械能的势能是系统具有的，因而机械能守恒定律的研究对象是物体系统.对地球表面单个物体往往也应用机械能守恒定律，这是因为地球和物体相互作用过程中地球几乎不动，就不考虑地球动能和势能变化罢了.
(5)由于机械能是状态量，不是过程量，而机械能的变化△E才是过程量.因此在所研究的物理过程中，必须先确定初始状态和终末状态的机械能.
3.机械能守恒的条件
机械能守恒的条件是只有系统内的重力或弹性力做功.但并不意味着物体不受其它外力，只是所受的其它外力不做功.
对机械能守恒的条件可理解为：没有系统外的力对系统做功，保证了所研究的系统与外界没有发生机械能的传递与交换；系统内只有重力或弹性力做功，只使系统内动能、重力势能或弹性势能发生相互转化，机械能没有转变成其它形式的能.可见，这样的系统机械能是守恒的.
机械能守恒条件也是我们判断所研究的某个系统机械能是否守恒的依据和判断方法.我们还可以由此进一步推论出：若系统内重力或弹性力之外的其它力做功，则系统的机械能将发生改为.若其它力做负功则会使系统的机械能减少.而且，系统机械能的变化就用其它力的功来量度.
【难题巧解点拨】
明确机械能守恒定律成立条件，并会根据此条件去判断具体过程中机械能是否守恒，是应用机械能守恒定律分析解决问题的前提.
应用机械能守恒定律的基本思路是
(1)根据题意，选取合适的研究对象，对研究对象进行受力分析，弄清各力做功情况，考察研究对象在运动过程中是否满足机械能守恒的条件.
(2)明确研究对象的运动过程，恰当地选取参考平面，确定研究过程中的初态和末态的机械能或动能及势能的表达式.
(3)正确选择机械能守恒定律的表达式列出合适的方程.可分过程列式，也可对全程列式.
典型例题
例1 如下图所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在从子弹开始射入到弹簧压缩至最短的整个过程中( )
A.动量守恒，机械能守恒 B.动量不守恒，机械能不守恒
C.动量守恒，机械能不守恒 D.动量不守恒，机械能守恒
解析：子弹打击木块B，子弹和B组成系统.由于作用时间很短，弹簧还未发生形变，合外力为零，系统动量守恒.子弹对B的摩擦力做功(A的位移很小)，小于子弹克服摩擦力做功，两者的总功为摩擦力乘以子弹射入木块的深度，即-f·d，机械能减少，机械能不守恒.在压缩过程中，系统受墙的冲量，动量不守恒但机械能守恒，因系统所受墙的作用力不做功，只有弹簧弹力做功.若从开始作用直到将弹簧压至最短作为一个过程，组成系统的木块、子弹和弹簧既受外力作用又有除弹力以外的力做功，所以系统的动量和机械能均不守恒.答案选D.
说明 如果物体运动由几个不同的物理过程组成，则应分析每个过程动量和机械能是否守恒.本题的关键是所要求研究的物理过程包含两个不同的过程：①子弹射入木块的短暂过程，两者达到共同速度.因时间和空间上的不明显性，容易漏掉和忽视，但相互作用的效果是明显的.②子弹和木块以共同速度一起压缩弹簧的过程.
例2 如下图所示，轻弹簧竖直立在水平桌面上并与桌面连接，在距弹簧上端高为h处有一小球自由下落，正好落在弹簧上，把弹簧压缩后又被弹起，不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A.小球落到弹簧上后立即做减速运动，动能不断减小，但动能与弹性势能之和保持不变
B.小球在碰到弹簧后，把弹簧压至最短的过程中，系统的重力势能与动能之和一直在减小
C.小球在碰到弹簧后，把弹簧压至最短的过程中，系统的弹性势能与重力势能之和一直在增大
D.小球被弹簧弹起后，运动的最高点仍是出发点
解析：由于不计空气阻力，以小球、弹簧和地球组成的系统为研究对象，则只有系统内的重力和弹力做功，因此系统的机械能守恒，即小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，这三种能量之和保持不变.所以本题应根据机械能守恒进行分析与判断.
小球落到弹簧上，压缩弹簧向下运动至最低点的过程中，小球所受重力做正功，使小球的重力势能减小，同时小球又克服弹簧弹力做功，使弹簧的弹性势能增大.在此过程中，先是小球所受重力大于向上的弹力，合力向下，速度与加速度方向均向下，小球向下作变加速运动，动能与弹性势能增大而重力势能减小，因此选项A不正确；当小球运动到平衡位置时，小球所受合力为零，加速度为零，速度增至最大，动能也达到最大；当小球越过平衡位置继续向下运动时，小球所受合力及其产生的加速度方向改为向上，与速度反向，小球作变减速运动，动能减小，重力势能继续减小而弹性势能继续增大；当小球到达最低点时，动能减到零，重力势能减小到最小而弹性势能达到最大.由此可知，在此运动过程中，动能与重力势能之和(等于系统机械能与弹性势能之差)随弹性势能的增大而减小，故选项B正确.而弹性势能与重力势能之和(等于系统机械能与动能之差)则在平衡位置上方是随动能的增大而减小，在平衡位置下方是随动能的减小而增大，即经历了先减小后增大的过程，故选项C不对.
从最低点反弹后的运动中，动能、重力势能，弹性势能又经历了与上述相反的过程，由机械能守恒可知小球上升的最高点与出发点相同，系统的机械能表现为最大的重力势能，故选项D正确.
故本题正确答案是B、D.
说明 本题是典型的动能、重力势能、弹性势能互相转化而机械能守恒的问题，正确解答的关键，一是明确本题的机械能守恒即E=EP重+EP弹+Ek保持不变，二是明确三个临界点，即弹簧上端、平衡位置和最低点.于是就能抓住动能与弹性势能之和的变化情况与重力势能变化情况相反、动能与重力势能之和的变化情况与弹性势能变化情况相反、重力势能与弹性势能之和的变化情况与动能变化情况相反这三个最基本特点.