- 高一数学问题已知f(x)=log4(4^x+1)+kx(k是实数
- 已知f(x)=log4 (4^x+1)+kx(k是实数）是偶。
（1）求k的值
（2）证明对任意实数b，函数y=f(x)的图像与直线
y=x/2+b最多只有一个交点。
- 1.
已知f(x)=log4 (4^x+1)+kx(k是实数）是偶，则：f(-x)=f(x)
===> log4(4^-x+1)-kx=log4(4^x+1)+kx
===> log4(4^-x+1)-log4(4^x+1)=2kx
===> log4[(4^-x+1)/(4^x+1)]=2kx
===> (4^-x+1)/(4^x+1)=4^(2kx)
===> 4^-x+1=4^(2kx+x)+4^(2kx)
===> 1+4^x=4^(2kx+2x)+4^(2kx+x)
===> 4^x[4^(2kx+x)-1]+[4^(2kx+x)-1]=0
===> [4^(2kx+x)-1]*(4^x+1)=0
因为，4^x+1≠0,所以：
===> 4^(2kx+x)-1=0
===> 2kx+x=0
===> x(2k+1)=0
===> k=-1/2
2.
由(1)知，f(x)=log4(4^x+1)-(x/2)。所以：
函数y=f(x)的图像与直线y=x/2+b的交点为
log4(4^x+1)-(x/2)=x/2+b
===> log4(4^x+1)=x+b
===> 4^x+1=4^(x+b)=(4^b)*(4^x)
===> (4^x)*(4^b-1)=1
当b=0时，4^b-1=0，上述方程无解。即，函数y=f(x)的图像与直线无交点；
当b<0时，4^b-1<0，而4^x>0，上述方程无解。即，函数y=f(x)的图像与直线也无交点；
当b>0时，4^b-1>0,4^x>0,则：
===> 4^x=1/(4^b-1)
===> x=log4[1/(4^b-1)]
===> x=-log4(4^b-1)
这就决定了只有一个交点。
综上所述，对任意实数b，函数y=f(x)的图像与直线y=x/2+b最多只有一个交点。