- 证明设实数x、y满足x+y=1，求证:对任意正整数n，有x^(2
- 设实数x、y满足x+y=1，求证:对任意正整数n，有x^(2n)+y^(2n)≥2^(1-2n)。
- ①当x=0或y=0时，不等式显然成立.
②当x、y有一负时，因x+y=1，
∴x、y中必有一个大于1，不妨设x>1，则
x^(2n)+y^(2n)
=(x^2)^n+(y^2)^n
>1
>1/2
≥2^(1-2n).
②当x、y∈R+时，记M=x^(2n)+y^(2n)，则
2n=[x^(2n)+y^(2n)]/M+1+1+···+1
=[(x^(2n)/M)+1/2+1/2+···+1/2]+[(y^(2n)/M)+1/2+1/2+···+1/2]
≥2nx/[M·2^(2n-1)]^(1/2n)+2ny/[M·2^(2n-1)]^(1/2n)
=2n(x+y)/[M·2^(2n-1)]^(1/2n)，
∴上式整理，得M≥2^(1-2n)，
从而有x^(2n)+y^(2n)≥2^(1-2n).
故原式获证。