- 求函数f(x,y,z)的最大值与最小值设x,y,z为实数，满足:
- 设x,y,z为实数，满足:x+y+z=√3.求
f(x,y,z)=√(4x^2+8x+5)+√(4y^2+8y+5)+√(4z^2+8z+5)
的最大值与最小值
- 设x,y,z为实数，√6-1≥x,y,z≥-1，且满足:x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)=3.求
f(x,y,z)=√(4x^2+8x+5)+√(4y^2+8y+5)+√(4z^2+8z+5)
的最大值与最小值
解 f(x,y,z)=√(4x^2+8x+5)+√(4y^2+8y+5)+√(4z^2+8z+5)
=√[4(x+1)^2+1]+√[4(y+1)^2+1]+√[4(z+1)^2+1]
令(x+1)^2=a,(y+1)^2=b,(z+1)^2=c.
∵√6-1≥x,y,z≥-1,∴6≥a,b,c≥0
再由题设条件:x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)=3
∴a+b+c=6
那么转化为:a,b,c为非负实数,且a+b+c=6,求函数
f(a,b,c)=√[4a+1]+√[4b+1]+√[4c+1]
的最大值与最小值.
由A-G不等式得:
[f(a,b,c)]^2≤3[4a+1+4b+1+4c+1]=3[4(a+b+c)+3]=81.
∴f(a,b,c)≤9.
故f(x,y,z)的最大值为9.
由柯西不等式得:
6[f(a,b,c)]^2=[√(25a+b+c)+√(25b+c+a)+√(25c+a+b)]^2
=27(a+b+c)+2√[(25b+c+a)(25c+a+b)]
+2√[(25c+a+b)(25a+b+c)]+2√[(25a+b+c)(25b+c+a)]
≥27*6+2[(5b+5c+a)+(5c+5a+b)+(5a+5b+c)]
=27*6+22*6=49*6
∴[f(a,b,c)]^2≥49,f(a,b,c)≥7.
故f(x,y,z)的最小值为7.