- 在直角梯形ABCD中，AB平行CD，角B等于90度，以BC为直径?
- 在直角梯形AB中，AB平行CD，角B等于90度，以BC为直径作圆O：
（1）若AC等于CD加AB，求证：AD是圆O的切线
（2）若AD切圆O于点F，连接BF，且AB等于BC，求四边形BCDF与三角行ABF的周长之比
- (1)【条件有误,应改为:若AD=+AB.】
证明:延长DO,交A的延长线于E.
∠C=∠OBE=90°,∠COD=∠BOE,OC=OB,则⊿OCD≌ΔOBE(ASA).
∴S⊿OCD=S⊿OBE,S⊿ADE=S梯形ABCD;………………（1）
⊿OCD≌ΔOBE(已证),则OD=OE,S⊿AOD=S⊿AOE,S⊿ADE=2S⊿AOD;
作OF⊥AD于F,则S⊿ADE=2S⊿AOD=AD*OF;……………（2）
又S梯形ABCD=(CD+AB)*BC/2=AD*BC/2;………………（3）
由(1),(2),(3)可知:OF=BC/2,所以AD为圆O的切线.
(2)解:设AB=BC=2R,则AF=AB=2R.连接OF.
AD切圆O于F,则OF⊥AD,又OB⊥AB,OF=OB.
∴OA平分∠BAD,AO⊥BF;
同理:OD平分∠FDC.
故∠AOD=90°,可知:⊿OCD∽⊿ABO,CD/CO=BO/BA=1/2;
则CD=CO/2=R/2=DF;
∵S四边形ABOF=AO*BF/2=AB*BO,即 √5R*BF/2=2R*R.
∴BF=(4√5/5)R.
故:(BC+CD+DF+BF)/(AB+AF+BF)
=(2R+R/2+R/2+4√5R/5)/(2R+2R+4√5R/5)
=(11+√5)/16.