- 两个几何问题在ΔABC中，∠A=60°。(1)已知AC^2=AB
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在ΔAB中，∠A=60°。
(1) 已知AC^2=AB*(AB+BC) ，求∠B，∠C;
(2) 已知BC^2=AB*(AB+AC) ，求∠B，∠C。
- 证明 (1) 延长AB至D,使BD=BC。则∠BCD=∠D。
因为AC^2=AB*(AB+BC) ，所以 AC^2=AB*AD<==> AC/AB=AD/AC.
又∠A是公共角, 故ΔABC∽ΔACD, 即∠ACB=∠D.
又因为∠ABC=2∠D，∠ABC+∠ACB=3∠D=180°-60°=120°，
所以∠D=40°，从而得:∠B=80°，∠C=40°。
(2) 用三角法证明 设BC=a,CA=b,AB=c，则a^2=c^2+bc,
(sinA)^2-(sinC)^2=sinB*sinC
<==> sin(A+C)*sin(A-C)=sinB*sinC
即sinB*sin(A-C)=sinB*sinC
因为sinB≠0，∠A=60°，所以sin(A-C)=sinC
故A-C=C或A-C=180°-C不舍题意舍去。
因此A=2C，C=30°,B=90°.