- 初三数学题请写详细些,谢谢!
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- (1)
由已知可以得到：A(-2,0)，B(-1,0)，(4,0)，D(0,2)，E(0,4)
抛物线过B、C、E三点，不妨设抛物线方程为：y=a(x+1)*(x-4)（a≠0）
则将点E(0,4)代入得到：-4a=4
所以，a=-1
则，抛物线解析式为：y=-(x+1)*(x-4)=-x^2+3x+4
(2)
由勾股定理得到：BD^2=(-1)^2+2^2=5，CD^2=4^2+2^2=20，BC^2=25
所以：BD^2+CD^2=BC^2
则，△BCD为直角三角形
已知A(-2,0)，D(0,2)，所以过AD的直线为：y=x+2
联立直线与抛物线得到：y=x+2=-x^2+3x+4
===> x^2-2x-2=0
===> (x-1)^2=3
===> x1=1-√3【F点】，x2=1+√3【G点】
点P在线段FG之间，即在直线AD上，不妨设点P(a,a+2)（1-√3＜a＜1+√3）
那么：
PO^2=a^2+(a+2)^2=2a^2+4a+4
PC^2=(a-4)^2+(a+2)^2=2a^2-4a+20
OC^2=16
已知△POC为等腰三角形，所以：
①当PO=PC时：
===> 2a^2+4a+4=2a^2-4a+20
===> 8a=16
===> a=2
此时，点P(2,4)
②当PO=OC时：
===> 2a^2+4a+4=16
===> 2a^2+4a-12=0
===> a^2+2a-6=0
===> a1=-1-√7＜1-√3，舍去；a2=-1+√7
此时，点P(-1+√7,1+√7)
③当PC=OC时：
===> 2a^2-4a+20=16
===> 2a^2-4a+4=0
===> a^2-2a+2=0
===> (a-1)^2+1=0
显然无实数解
综上，满足△POC为等腰三角形的点P为：
P1(2,4)；P2(√7-1,√7+1)
(3)
由前面知，抛物线为：y=-x^2+3x+4
则对称轴为x=-b/(2a)=3/2
则当x=3/2时，y=(-9/4)+(9/2)+4=25/4
即，顶点N(3/2,25/4)
直线y=x+2与对称轴x=3/2的交点为M，则y=(3/2)+2=7/2
所以，点M(3/2,7/2)
①
设点P(a,a+2)
PQ//y轴，所以点Q的横坐标为a，又点Q在抛物线上，所以：
Q点纵坐标为：y=-a^2+3a+4
即，点Q(a,-a^2+3a+4)
那么，PQ=(-a^2+3a+4)-(a+2)=-a^2+2a+2
当四边形PMNQ为菱形时，PQ=MN=(25/4)-(7/2)=11/4
===> -a^2+2a+2=11/4
===> a^2-2a+(3/4)=0
===> (a-1)^2=1/4
===> a1=3/2（舍去，此时与M重合），a2=1/2
则此时点P(1/2,5/2)，Q(1/2,21/4)
已知点M(3/2,7/2)，N(3/2,25/4)
所以：MP^2=1^2+1^2=2，NQ^2=2
则，MP=NQ=√2≠MN
所以，四边形PMNQ只可能是平行四边形，不可能是菱形
②
设点P(a,a+2)，PQ//y轴，同样由前面①可以得到：
点Q(a,-a^2+3a+4)
且PQ//MN
点M(3/2,7/2)，N(3/2,25/4)
所以当PMNQ为等腰梯形时有：PM=QN
===> (a-3/2)^2+(a-3/2)^2=(a-3/2)^2+(-a^2+3a-9/4)^2
===> (a-3/2)^2-(-a^2+3a-9/4)^2=0
===> (a-3/2-a^2+3a-9/4)*(a-3/2+a^2-3a+9/4)=0
===> (-a^2+4a-15/4)*(a^2-2a+3/4)=0
===> a^2-4a+(15/4)=0，或者a^2-2a+(3/4)=0
===> (a-2)^2=1/4，或者(a-1)^2=1/4
===> a1=5/2，a2=3/2（此PQ与MN重合舍去），a3=1/2（此时就是①中成平行四边形时的情况，舍去）
则，a=5/2
经检验此时满足PMNQ为等腰梯形【PM=NQ=√2】