- 数学问题若函数f（x）=（x^2+ax+b）e^(x
- 若f（x）=（x^2+ax+b）e^(x-2），x属于R，在x=1处取得极值
1）求a与b的关系式（用a表示b），求出f（x）的取值范围
2）是否存在实数m，使得对任意a属于（0，1）及x属于[0,2]总有|f（x1）|-|f（x2）|小于[（m+2）a+m^2]e^-1 +1恒成立，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由
请详细解答，谢谢
- 若f（x）=（x^2+ax+b）e^(x-2），x属于R，在x=1处取得极值
1）求a与b的关系式（用a表示b），求出f（x）的取值范围
解：f'(x)=(2x+a)e^(x-2)+(x^2+ax+b)e^(x-2)
=[x^2+(a+2)x+a+b]e^(x-2),
因f(x)在x=1处取极值，故
f'(1)=(2a+b+3)/e=0,∴b=-2a-3.
显然，x→+∞时，f(x)→+∞，∴f(1)=(-a-2)/e是f(x)的极小值。x→-∞时，f(x)→0.
∴当a≥-2时，f(x)的取值范围是[(-a-2)/e,+∞）；
当a<-2时f(1)不是极值，不合题意。
2）是否存在实数m，使得对任意a属于（0，1）及x属于[0,2]总有|f（x1）|-|f（x2）|小于[（m+2）a+m^2]e^-1 +1恒成立，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由
解：f(x)=(x^2+ax-2a-3)e^(x-2),
由(1),|f（x1）|-|f（x2）|≤|f(x1)-f(x2)|
≤max{f(0)-f(1),f(2)-f(1)}=(a+2+e)/e,
对任意a属于（0，1）及x属于[0,2]总有|f（x1）|-|f（x2）|<[（m+2）a+m^2]e^-1 +1恒成立，
化为(2+e)/e0,
∴“m<-√2或m>√2”且“m<-2或m>1”，
∴m的取值范围是(-∞，-2）U(√2，+∞）。