- 不等式问题设a，b，c;a’，b’，c’分别表示两个三角形的三边
- 设a，b，c; a’ ，b’ ，c’ 分别表示两个三角形的三边长，记p=(a+b+c)/2，p’=(a’+b’+c)/2’ ，S,S’ 是对应的三角形的面积。
求证 a’(p’-a’)*(p-b)*(p-c)+b’(p’-b)*(p-c)*(p-a)+c’(p’-c)*(p-a)*(p-b)≥2S*S’
- 证明 因为c[(C-C')/2]≤1, 展开为
cos(C/2)*cos(C'/2)+sin(C/2)*sin(C'/2)≤1
两边同乘4sin(C/2)*sin(C'/2) 得:
sinC*sinC'+4[sin(C/2)*sin(C'/2)]^2≤4sin(C/2)*sin(C'/2) (1)
将sinC=2S/(ab)，sinC'=2S’/(a'b') ，
sin(C/2)=sqrt[(p-a)*(p-b)/(ab)] ，sin(C'/2)=sqrt[(p'-a')*(p'-b)/(a'b')]
代入(1)式整理为
2S*S'+2(p-a)*(p-b)*(p'-a')*(p'-b')≤2sqrt[ab(p-a)*(p-b)]* sqrt[a'b'(p'-a')*(p'-b')]
<==> a'(p'-a')*(p-b)*(p-c)+b'(p'-b')*(p-c)*(p-a)+c'(p'-c')*(p-a)*(p-b)≥2S*S'
+{sqrt[ab'(p-a)*(p'-b')]*-sqrt[a'b(p'-a')*(p-b)]}^2 (2)
当且仅当C=C'时取等号。
显然(2) 式要强于所证不等式。