- 不等式(1)设a、b、c∈R+,证明:(a^2
- 设a、b、c∈R+,证明:
(a^2-2a+2)/(b+c)+(b^2-2b+2)/(c+a)+(c^2-2c+2)/(a+b)≥3/2。
- 证明:
依均值不等式,得
a3+1+1≥3a
→a3-2a+2≥a.
同理,
b3-2b+2≥b,
c3-2c+2≥c.
可见,要证明原式,只需证明:
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2 ……(*)
事实上,由Cauchy不等式,得
[(b+c)+(c+a)+(a+b)]·[1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)]≥(1+1+1)2
→(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)+(a+b+c)/(a+b)≥9/2
→a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2,
∴(*)式得证,从而原不等式得证。