- 立体几何在正三棱柱ABC
- 在正三棱柱AB-A1B1C1中,底面边长a,侧棱长2分之根号2a,经过对角线AB1且与对角线BC1平行的面交上底面于DB1.
试确定D点的位置,并证明结论
求二面角A1-AB1-D
- 如附图
延长CB使BC=DB连接B1D，AD，过B作BF垂直于AD与F,过B作BE垂直AB1于E.
∵B1C1//BD,C1B1=BD,
∴B1C1BD是平行四边形
∴BC1//B1D
∴D点的位置为CB延长线上满足CB=BD的点
2）
∵BB1⊥面ABC
∴BB1⊥BF
又∵BF⊥AB
∴B点为F点在面ABB1上的投影
又∵BE⊥AB1
∴∠FEB为二面角D-AB1-B
∴二面角A1-AB1-D为∠FEB的补角
∵AB=BD=a,AB1=a√2/2,AB⊥BB1
∴AB1=B1D=a√5/2;
∵AB=BD=a,∠ABC=60度
∴BF=a√3/3
∵BE*AB1=AB*BB1(三角形面积)
∴BE= a√10/5
tan∠FEB=BF/BE=√30/6
∴所求二面角为108度-arctan√30/6